题目内容
11．设数列{an}满足a1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}的通项bn=$\frac{1}{n（{a}_{n}-{2}^{n-1}+2）}$，求数列{bn}的前n项和Sn．
分析 （1）由数列{an}满足a1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*．变形an+1-（n+1）=2（an-n），再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）bn=$\frac{1}{n（{a}_{n}-{2}^{n-1}+2）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和”即可得出．
解答 解：（1）∵数列{an}满足a1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*．
∴an+1-（n+1）=2（an-n），
∴数列{an-n}是等比数列，首项为1，公比为2，
∴an-n=2n-1，可得∴an=n+2n-1．
（2）bn=$\frac{1}{n（{a}_{n}-{2}^{n-1}+2）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{bn}的前n项和Sn=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．
点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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