题目内容

已知函数=-alnx（a∈R）.

（1）求函数的单调区间；

（2）求证：x＞1时，+lnx＜x3.

解：（1）依题意，函数的定义域为x＞0.

∵=x-.

∴当a≤0时的单调递增区间为（0，+∞）.

当a＞0时，

∵=x-=，

令＞0，有x＞，

∴函数的单调递增区间为（，+∞）.

令＜0，有0＜x＜，

∴函数的单调递减区间为（0，）.

（2）设=--lnx，

∴=2x2-x-.

∵当x＞1时，= ＞0，

所以在（1，+∞）上是增函数，

∴＞=＞0.

∴当x＞1时，＞+lnx.

练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
12
x2+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调区间并比较f（x）与f（1）的大小关系；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[f′（x）+
m
2
]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（3）若n≥2，n∈N+，试猜想
ln2
2
×
ln3
3
×
ln4
4
×…×
lnn
n
与
1
n
的大小关系，并证明你的结论．
（2012•朝阳区二模）已知函数f（x）=alnx+
2a2
x
+x（a≠0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-2y=0垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a∈（-∞，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤
1
2
e2．
已知函数f（x）=alnx+
12
x2-2x在区间[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围是
[0，+∞）
[0，+∞）
．

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