Question

已知函数f（x）=alnx+

1

2

x2-2x在区间[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围是

[0，+∞）

．

Answer 1

分析：求出函数的导函数，使原函数在区间[2，3]上单调递增，则导函数在区间[2，3]上大于等于0恒成立，然后利用分离变量法把a分离出来，利用函数单调性求分立后的函数的最大值，则实数a的取值范围可求．

解答：解：由f（x）=alnx+

1

2

x2-2x得：f′(x)=

a

x

+x-2=

x2-2x+a

x

，
要使函数f（x）=alnx+

1

2

x2-2x在区间[2，3]上单调递增，
则f′(x)=

x2-2x+a

x

≥0在x∈[2，3]上恒成立．
即x²-2x+a≥0在x∈[2，3]上恒成立．
也就是a≥-x²+2x在x∈[2，3]上恒成立．
令g（x）=-x²+2x，该函数的对称轴为x=1，且开口向下，函数在[2，3]上为减函数，
所以g(x)max=g(2)=-22+2×2=0．
所以，a≥0．
则使函数f（x）=alnx+

1

2

x2-2x在区间[2，3]上单调递增的实数a的取值范围是[0，+∞）．
故答案为[0，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分离变量法求参数的取值范围，训练了利用函数单调性求函数的最值，是中档题．