Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b可知：f′(2)=2+

a

2

=1，f（2）=2+aln2=2+b，可解ab的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，则f′(x)=x+

a

x

≥0在（1，+∞）上恒成立，分离变量可求a的范围．

解答：解：（Ⅰ）已知函数f（x）=

1

2

x²+alnx，则导数f′(x)=x+

a

x

函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b可知：
f′(2)=2+

a

2

=1，f（2）=2+aln2=2+b，解得a=-2，b=-2ln2
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，
则f′(x)=x+

a

x

≥0在（1，+∞）上恒成立，分离变量得
a≥-x²，而（-x²）在x∈（1，+∞）恒小于-1，即得a≥-1
故a的取值范围为：a≥-1．

点评：本题为导数与函数的综合应用，正确理解在某点处的切线斜率即是改点的导数值是解决问题的关键，属中档题．