Question

某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与报纸广告费用x₁（万元）及电视广告费用x₂（万元）之间的关系有如下经验公式：R=-2x₁²-x₂²+13x₁+11x₂-28．
（1）若提供的广告费用共为5万元，求怎样分配广告费用才能使公司收益最大？（其中收益=销售收入-广告费用）；
（2）在广告费用不限的情况下，求该公司的最大收益．

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：函数的性质及应用

分析：（1）依题意推出x₂=5-x₁，推出收益y的表达式，利用二次函数平方即可求出最大值，
（2）收益y=R-（x₁+x₂），化简平方，通过函数的最值，即可求出当x₁=3，x₂=5时，公司收益最大．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）依题意x₁+x₂=5，x₂=5-x₁，
∴R=-2x12-x22+13x1+11x2-28=-2x12-(5-x1)2+13x1+11(5-x1)-28=-3x12+12x1+2（0≤x₁≤5），-------------（3分）
∴收益y=R-5=-3x12+12x1-3=-3(x1-2)2+9≤9，
当且仅当x₁=2时取等号．-------------（6分）
∴当报纸广告费用为2万元，电视广告费用为3万元时，公司收益最大．-------（8分）
（2）收益y=R-（x₁+x₂）=-2x12-x22+13x1+11x2-28-(x1+x2)=-2(x1-3)2-(x2-5)2+15≤15，----------（12分）
当且仅当x₁=3，x₂=5时取等号．
∴当报纸广告费用为3万元，电视广告费用为5万元时，公司收益最大．--------（14分）

点评：本题考查函数的解析式的应用，二次函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．