Question

如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，

，∥，且，，为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点（不与两点重合），使得∥平面?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（Ⅰ）证明：

因为平面，平面，

所以.                                  

取的中点，连结，

因为底面为直角梯形，∥，，且，

所以四边形为正方形，所以，且，

所以，即.                          

又，所以平面.                     

（Ⅱ）解：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．

则，，，，

所以，，．

因为平面，所以为平面的一个法向量．  

     设平面的法向量为，      

     由，得

     令，则，，

     所以是平面的一个法向量．    

     所以

     因为二面角为锐角，     所以二面角的余弦值为．   

（Ⅲ）解：假设在线段上存在点（不与两点重合），使得∥平面．

      设，则，．

      设平面的法向量为，

由，得

令，则，，

      所以是平面的一个法向量．…12分

因为∥平面，所以，即，  

解得，

所以在线段上存在一点（不与两点重合），使得∥平面，且．