Question

19．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，b₁=3，a_n+1=a_n+2，lgb_n+1=lg3+lgb_n，n∈N^*
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，n∈N^*，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1=a_n+2，利用等差数列的通项公式即可得出．数列{b_n}满足b₁=3，lgb_n+1=lg3+lgb_n，n∈N^*，可得b_n+1=3b_n，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1=a_n+2，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
数列{b_n}满足b₁=3，lgb_n+1=lg3+lgb_n，n∈N^*，
∴b_n+1=3b_n，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为3，公比为3．
∴b_n=3ⁿ．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ．
∴数列{c_n}的前n项和S_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
3S_n=3²+3×3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=2×$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-3-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6，
∴S_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．