Question

（2013•和平区二模）已知点A、B分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=

2

2

，S_△ABC=

2

．动直线，l：y=kx+m与椭圆于M、N两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）若椭圆上存在点P，满足

OM

+

ON

=λ

OP

（O为坐标原点），求λ的取值范围；
（III）在（II）的条件下，当λ取何值时，△MNO的面积最大，并求出这个最大值．

Answer 1

分析：（I）由离心率及三角形的面积联立方程组，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（II）直线方程代入椭圆方程，分类讨论，确定P的坐标，利用P在椭圆上，即可求λ的取值范围；
（III）求出|MN|，点O到直线MN的距离，利用面积公式，结合基本不等式，即可求△MNO面积．

解答：解：（I）由题意，

a2+b2 a = 2 2 1 2 ×2a×b= 2

，∴a=

2

，b=1
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（II）y=kx+m代入椭圆方程整理可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
设点M、N的坐标分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、P（x₀，y₀），则
x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-2

1+2k2

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

2m

1+2k2

（1）当m=0时，点M、N关于原点对称，则λ=0．
（2）当m≠0时，点M、N不关于原点对称，则λ≠0，
∵

OM

+

ON

=λ

OP

，∴（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=λ（x₀，y₀），
∴x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀，
∴x₀=-

4km

λ(1+2k2)

，y₀=

2m

λ(1+2k2)

∵P在椭圆上，
∴[

4km

λ(1+2k2)

]2+2[

2m

λ(1+2k2)

]2=2
化简，得4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．
∵1+2k²≠0，
∴有4m²=λ²（1+2k²）．…①
又∵△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（1+2k²-m²），
∴由△＞0，得1+2k²＞m²．…②
将①、②两式，∵m≠0，∴λ²＜4，
∴-2＜λ＜2且λ≠0．
综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是-2＜λ＜2；
（III）由题意，|MN|=

1+k2

|x1-x2|，点O到直线MN的距离d=

|m|

1+k2

∴S_△MNO=

1

2

|MN|d=

1

2

|m||x1-x2|=

2 |m| 1+2k2-m2

1+2k2

由①得1+2k2=

4m2

λ2

，代入上式并化简可得S_△MNO=

2

4

•

λ2(4-λ2)

∵

λ2(4-λ2)

≤

λ2+(4-λ2)

2

=2
∴S_△MNO≤

2

2

当且仅当λ²=4-λ²，即λ=±

2

时，等号成立
∴当λ=±

2

时，△MNO的面积最大，最大值为

2

2

．

点评：本题主要考查待定系数法求圆锥曲线的方程，要注意椭圆的三个参数的关系为：a²=b²+c²；求解直线与椭圆的位置关系问题，通常是联立方程组，利用韦达定理求解．