Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2（x≥1）}\end{array}\right.$，关于x的方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的实根个数不可能为（　　）

• A． 5个
• B． 6个
• C． 7个
• D． 8个

Answer 1

分析 由基本不等式可得x+$\frac{1}{x}$-2≥0或x+$\frac{1}{x}$-2≤-4，再作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2（x≥1）}\end{array}\right.$的图象，从而由图象分类讨论，从而由此分析关于x的方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的实根个数．

解答 解：由基本不等式可得，
x+$\frac{1}{x}$-2≥0或x+$\frac{1}{x}$-2≤-4；
作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2（x≥1）}\end{array}\right.$的图象如下，

①当a＞2时，x+$\frac{1}{x}$-2＜-24或$\frac{24}{25}$＜x+$\frac{1}{x}$-2＜1，
故方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的实根个数为4；
②当a=2时，x+$\frac{1}{x}$-2=-24或x+$\frac{1}{x}$-2=$\frac{24}{25}$或x+$\frac{1}{x}$-2=2，
故方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的实根个数为6；
③当1＜a＜2时，-24＜x+$\frac{1}{x}$-2＜-4或$\frac{4}{5}$＜x+$\frac{1}{x}$-2＜$\frac{24}{25}$或1＜x+$\frac{1}{x}$-2＜2或2＜x+$\frac{1}{x}$-2＜3，
故方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的实根个数为8；
④当a=1时，x+$\frac{1}{x}$-2=-4或0＜x+$\frac{1}{x}$-2＜1或1=x+$\frac{1}{x}$-2或x+$\frac{1}{x}$-2=3，
故方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的实根个数为7；
⑤当0＜a＜1时，-4＜x+$\frac{1}{x}$-2＜0或3＜x+$\frac{1}{x}$-2＜4或0＜x+$\frac{1}{x}$-2＜1，
故方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的实根个数为4；
⑥当a=0时，x+$\frac{1}{x}$-2=0或3＜x+$\frac{1}{x}$-2＜4，
故方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的实根个数为3；
⑦当a＜0时，x+$\frac{1}{x}$-2＞3，
故方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的实根个数为2．
故选A．

点评 本题考查了函数的图象的作法及基本不等式的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．