Question

18．如图，已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，A、B为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2，P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，且直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍．
（Ⅰ）求证：直线BP与直线BQ的斜率乘积为定值；
（Ⅱ）求三角形APQ的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求得椭圆方程，则k_AP=$\frac{y-0}{x+2}$，k_BP=$\frac{y-0}{x-2}$，即可求得k_AP•k_BP=-$\frac{1}{2}$，由k_BQ=2k_AP，故k_BP•k_BQ=-1；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，及向量数量积的坐标运算，求得直线恒过点$（\frac{2}{3}，0）$，则${S_{△APQ}}={S_{△APM}}+{S_{△AQM}}=\frac{1}{2}×|OM|×|{y_1}-{y_2}|$，根据函数的单调性即可求得三角形APQ的面积S的最大值，当直线l_PQ的斜率k不存在时，根据斜率关系，求得P和Q方程，即可求得三角形APQ的面积S．

解答 解：（Ⅰ）证明：由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，
由焦点到短轴端点的距离为2，即a=2，则c=$\sqrt{2}$，
b²=a²-c²=2，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$；
设P点坐标（x，y），y²=$\frac{1}{2}$（4-x²）则A（-2，0），B（2，0），则k_AP=$\frac{y-0}{x+2}$，k_BP=$\frac{y-0}{x-2}$，
则k_AP•k_BP=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}$=-$\frac{1}{2}$
由k_BQ=2k_AP，故k_BP•k_BQ=-1．
∴直线BP与直线BQ的斜率乘积为-1为定值；
（Ⅱ）当直线PQ的斜率存在时，设l_PQ：y=kx+b与x轴的交点为M，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+4kbx+2b²-4=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{-4kb}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{b^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$，
由$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}=0$，得y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
得$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+（kb-2）（{x_1}+{x_2}）+4+{b^2}=0$，
4k²+8kb+3b²=0，得b=-2k或$b=-\frac{2}{3}k$．y=kx-2k或$y=kx-\frac{2}{3}k$，
所以过定点（2，0）或$（\frac{2}{3}，0）$，
点（2，0）为右端点，舍去，
${S_{△APQ}}={S_{△APM}}+{S_{△AQM}}=\frac{1}{2}×|OM|×|{y_1}-{y_2}|$，
=$\frac{8}{3}\sqrt{\frac{{{k^2}（8{k^2}-2{b^2}+4）}}{{{{（2{k^2}+1）}^2}}}}=\frac{16}{9}\sqrt{\frac{{{k^2}（16{k^2}+9）}}{{{{（2{k^2}+1）}^2}}}}$，
=$\frac{16}{9}\sqrt{4-\frac{7}{2}[{\frac{1}{{2{k^2}+1}}+\frac{1}{{2{{（2{k^2}+1）}^2}}}}]}$，
令$\frac{1}{{2{k^2}+1}}=t$（0＜t＜1），${S_{△APQ}}=\frac{16}{9}\sqrt{4-\frac{7}{2}（t+\frac{1}{2}{t^2}）}$，0＜t+t²＜1，${S_{△APQ}}＜\frac{32}{9}$，
当直线l_PQ的斜率k不存在时，P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁），${k_{AP}}=\frac{1}{2}{k_{BQ}}$，即$\frac{{2{y_1}}}{{{x_1}+2}}=\frac{{-{y_1}}}{{{x_1}-2}}$，
解得${x_1}=\frac{2}{3}$，${y_1}=\frac{4}{3}$，${S_{△APQ}}=\frac{1}{2}×\frac{8}{3}×\frac{8}{3}=\frac{32}{9}$，
∴S_△APQ的最大值为$\frac{32}{9}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，函数单调性及最值与椭圆的综合应用，考查分类讨论思想，属于中档题．