Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点.

（1）证明：平面；

（2）若面与面所成二面角的大小为，求与面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）连接交于，则是的中点，连接，证明，平面即得证；（2）如图以为原点，方向分别为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系.设，根据面与面所成二面角的大小为求出，再求出与面所成角的正弦值．

（1）证明：连接交于，则是的中点，连接，

则是的中位线，所以，

有因为，

所以平面.

（2）如图以为原点，方向分别为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系.设，则

，，，，，

，设，则，

又，即，解得 ①

设是平面的一个法向量，则

即，方程的一组解为 ,

显然是面的一个法向量，依题意有

，得，

结合①式得 .

因为底面，所以是与面所成的角，

所以 .