题目内容

设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为的直角三角形.过B1作直线l交椭圆于P、Q两点.

(1) 求该椭圆的标准方程;

(2) 若,求直线l的方程;

(3) 设直线l与圆O:x2+y2=8相交于M、N两点,令|MN|的长度为t,若t∈,求△B2PQ的面积的取值范围.

解:(1)设所求椭圆的标准方程为,右焦点为.

因△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2=90º,得c=2b…………1分

在Rt△AB1B2中,,从而.………………3分

因此所求椭圆的标准方程为: …………………………………………4分

(2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为:,代入椭圆方程得,…………………………6分

设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则y1、y2是上面方程的两根,因此,

,又,所以

………………………………8分

由,得=0,即,解得;  

所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:x+2y+2=0和x–2y+2=0……………………10分 

(3) 当斜率不存在时,直线,此时,………………11分

当斜率存在时,设直线,则圆心到直线的距离,

因此t=,得………………………………………13分

联立方程组:得,由韦达定理知,

,所以,

因此.

设,所以,所以…15分

综上所述:△B2PQ的面积……………………………………………16分

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