Question

如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且△ 是面积为4的直角三角形.

(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；

(Ⅱ)过做直线交椭圆于P,Q两点,使,求直线的方程.

 

Answer 1

【答案】

（I）所求椭圆的标准方程为:  

(2)满足条件的直线有两条,其方程分别为:和

【解析】(I) 设所求椭圆的标准方程为，因是直角三角形,又,故为直角,因此,得.又因为,消去b可得a,c的一个等式关系，从而可求出离心率，再利用,求出b，进而可得到a的值，椭圆方程确定.

(II) 由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为:,代入椭圆方程得,

因为,所以 

 =0

然后借助韦达定理代入上式可得关于m的方程求出m值，得到直线l的方程