Question

（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，线段OF₁，OF₂的中点分别为B₁，B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过B₁作直线交椭圆于P，Q两点，使PB₂⊥QB₂，求△PB₂Q的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₂（c，0），利用△AB₁B₂是的直角三角形，|AB₁|=AB₂|，可得∠B₁AB₂为直角，从而b=

c

2

，利用c²=a²-b²，可求e=

c

a

=

2

5

5

，又S=

1

2

|B₁B₂||OA|=

c

2

•b=b2=4，故可求椭圆标准方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B₁（-2，0），B₂（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my-2，代入椭圆方程，消元可得（m²+5）y²-4my-16-0，利用韦达定理及PB₂⊥QB₂，利用

B2P

•

B2Q

=0可求m的值，进而可求△PB₂Q的面积．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₂（c，0）
∵△AB₁B₂是的直角三角形，|AB₁|=AB₂|，∴∠B₁AB₂为直角，从而|OA|=|OB₂|，即b=

c

2

∵c²=a²-b²，∴a²=5b²，c²=4b²，∴e=

c

a

=

2

5

5

在△AB₁B₂中，OA⊥B₁B₂，∴S=

1

2

|B₁B₂||OA|=

c

2

•b=b2
∵S=4，∴b²=4，∴a²=5b²=20
∴椭圆标准方程为

x2

20

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B₁（-2，0），B₂（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my-2
代入椭圆方程，消元可得（m²+5）y²-4my-16=0①
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴y1+y2=

4m

m2+5

，y1y2=

-16

m2+5

∵

B2P

=(x1-2，y1)，

B2Q

=(x2-2，y2)
∴

B2P

•

B2Q

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=-

16m2-64

m2+5

∵PB₂⊥QB₂，∴

B2P

•

B2Q

=0
∴-

16m2-64

m2+5

=0，∴m=±2
当m=±2时，①可化为9y²±8y-16-0，
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

8

9

10

∴△PB₂Q的面积S=

1

2

|B₁B₂||y₁-y₂|=

1

2

×4×

8

9

10

=

16

9

10

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形的面积计算，综合性强．