Question

4．已知函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$，给出下面三个结论：
①函数f（x）在区间（-$\frac{π}{2}$，0）上单调递增，在区间（0，$\frac{π}{2}$）上单调递减；
②函数f（x）没有最大值，而有最小值；
③函数f（x）在区间（0，π）上不存在零点，也不存在极值点．
其中，所有正确结论的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 由函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$表示（0，0）与（x，sinx）点连线的斜率，结合正弦型函数的图象和性质，逐一分析三个结论的真假，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$表示（0，0）与（x，sinx）点连线的斜率，
∴当x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时，函数f（x）单调递增，
当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，函数f（x）单调递减，故①正确；
当x→0时，f（x）→1，而x≠0，故f（x）＜1，即函数没有最大值，
当（0，0）与（x，sinx）点连线与y=sin的图象相切时，f（x）有最小值，
故函数f（x）没有最大值，而有最小值，
故②正确；
当x∈（0，π）时，sinx≠0，故f（x）≠0，即函数f（x）在区间（0，π）上不存在零点，
而x∈（0，π）时，函数f（x）单调递减，也不存在极值，
故③正确；
故正确的结论的序号是①②③，
故选：D

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查正弦函数的图象和性质，其中正确理解函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$表示（0，0）与（x，sinx）点连线的斜率，是解答的关键．