Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右准线x=

a2

c

与两渐近线交于A，B两点，点F为右焦点，若以AB为直径的圆过F，则双曲线的离心率为

2

．

Answer 1

分析：首先根据双曲线的渐近线为y=±

b

a

x和右准线方程，得到右准线交两渐近线于A（

a2

c

，

ab

c

），B（

a2

c

，-

ab

c

）．从而AB=

2ab

c

，再根据以AB为直径的圆过右焦点F，得到焦点到右准线的距离等于AB的一半，建立关于a、b、c的等式，化简整理可得a=b，最后根据离心率的计算公式，可求出该双曲线的离心率．

解答：解：∵双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴双曲线的两渐近线为y=±

b

a

x
因此，可得右准线x=

a2

c

交两渐近线于A（

a2

c

，

ab

c

），B（

a2

c

，-

ab

c

），
设右准线x=

a2

c

交x轴于点G（

a2

c

，0）
∵以AB为直径的圆过F，
∴AB=2GF，即

2ab

c

=2（c-

a2

c

），化简得a=b，
∴双曲线的离心率为e=

c

a

=

a2+b2

a

=

2

故答案为：

2

点评：本题给出双曲线的右准线与两渐近线交于A，B两点，且以AB为直径的圆过右焦点F，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本概念与简单几何性质，属于基础题．