题目内容
已知数列{an}满足：a1=1且
．（1）若数列{bn}满足：
，试证明数列bn-1是等比数列；（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
【答案】分析：（1）由
．知数列{bn-1}是等比数列．
（2）由
，得
，知
，由此知
=
．
（3）由
，得
，∴
、又由（2）知，
，数列{bn}单调递增，所以数列an-bn为单调递减数列，由此知数列an-bn中存在最大项且为该数列中的首项，其值为-1．
解答：解：（1）∵
．
∴数列{bn-1}是等比数列，首项为
，公比为
．
（2）由
，得
．
由（1）得
，
∴
，
∴
=
．
（3）由
，得
，
∴
，
又由（2）知，
，
∴数列{bn}单调递增，∴
与-bn均为递减数列、∴数列{an-bn}为单调递减数列，
∴当n=1时，a1-b1=1-2=-1最大，即数列{an-bn}中存在最大项且为该数列中的首项，其值为-1、
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
．知数列{bn-1}是等比数列．（2）由
，得，知，由此知=．（3）由
，得，∴、又由（2）知，，数列{bn}单调递增，所以数列an-bn为单调递减数列，由此知数列an-bn中存在最大项且为该数列中的首项，其值为-1．解答：解：（1）∵
．∴数列{bn-1}是等比数列，首项为
，公比为．（2）由
，得．由（1）得
，∴
，∴
=．（3）由
，得，∴
，又由（2）知，
，∴数列{bn}单调递增，∴
与-bn均为递减数列、∴数列{an-bn}为单调递减数列，∴当n=1时，a1-b1=1-2=-1最大，即数列{an-bn}中存在最大项且为该数列中的首项，其值为-1、
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
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