Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=log_n（n+1）（n≥2，n∈N^*）．定义：使乘积a₁•a₂•…•a_k为正整数的k（k∈N^*）叫做“简易数”．则在[1，2012]内所有“简易数”的和为    ．

Answer 1

【答案】分析：先利用换底公式与叠乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化为log₂（k+1）；然后根据a₁•a₂•a₃…a_k为整数，可得k=2ⁿ-1；最后由等比数列前n项和公式解决问题．
解答：解：a_n=log_n（n+1）=，（n≥2，n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=1××…×=log₂（k+1），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数，
∴k+1必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-1．
∴k∈[1，2012]内所有的“简易数”的和：
M=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+（2⁴-1）+…+（2¹⁰-1）
=-10=2036，
故答案为：2036．
点评：本题在理解新定义的基础上，考查换底公式、叠乘法及等比数列前n项和公式，其综合性、技巧性是比较强的．