题目内容

已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=
an-1-3     (an-1＞3)
4-an-1    (an-1≤3)
，
（1）当a=100时，填写下列列表格：
n 2 3 35 100
an
（2）当a=100时，求数列{an}的前100项的和S100；
（3）令bn=
an
(-2)n
，Tn=b1+b2+…+bn，求证：当1＜a＜
4
3
时，Tn＜
4-3a
3
．
（1）
n 2 3 35 100
an 97 94 3 1
（2）当a=100时，由题意知数列{an}的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，
从而S100=（100+97+94+…+4+1）+（3+1+…+3+1）（前一组共34项，后一组共66项）
=
(100+1)×34
2
+(3+1)×
66
2

=1717+132
=1849．                  
（3）当1＜a＜
4
3
时，因为an=
a，n为奇数
4-a，n为偶数
，
所以bn=
an
(-2)n
=
-
a
2 n
，n为奇数
4-a
2n
，n为偶数
，
当n=2k，k∈N*时，
Tn=b1+b2+…+b2k
=-
a
2
+
4-a
22
-
a
23
+
4-a
24
+…-
a
22k-1
+
4-a
22k

=-(
a
2
+
a
23
+…+
a
22k-1
)+(
4-a
22
+
4-a
24
+…+
4-a
22k
)
=-
a
2
[1-(
1
4
)k ]
1-
1
4
+
4-a
4
[1-(
1
4
)k ]
1-
1
4

=
4-3a
3
[1-(
1
4
)k]．
因为1＜a＜
4
3
，所以
4-3a
3
[1-(
1
4
)k]＜
4-3a
3
，
当n=2k-1，k∈N*时，
Tn=b1+b2+…+b2k-1
=-
a
2
+
4-a
22
-
a
23
+
4-a
24
+…-
a
22k-1

＜-
a
2
+
4-a
22
-
a
2 3
+
4-a
24
+…-
a
22k-1
+
4-a
22k
＜
4-3a
3
．
所以Tn＜
4-3a
3
．
练习册系列答案
相关题目
已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时an=
an-1-3，(an-1＞3)
4-an-1，(an-1≤3)
，
（Ⅰ）当a=100时，求数列{an}的前100项的和S100；
（Ⅱ）证明：对于数列{an}，一定存在k∈N*，使0＜ak≤3．
已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=
an-1-3，(an-1＞3)
4-an-1，(an-1≤3)
，
（Ⅰ）当a=100，时，求数列{an}的前100项的和S100；
（Ⅱ）证明：对于数列{an}，一定存在k∈N*，使0＜ak≤3；
（Ⅲ）令bn=
an
2n-(-1)n
，当2＜a＜3时，求证：
n
i=1
bi＜
20+a
12
．
已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=
an-1-3     (an-1＞3)
4-an-1    (an-1≤3)
，
（1）当a=100时，填写下列列表格：
n 2 3 35 100
an
（2）当a=100时，求数列{an}的前100项的和S100；
（3）令bn=
an
(-2)n
，Tn=b1+b2+…+bn，求证：当1＜a＜
4
3
时，Tn＜
4-3a
3
．
（2009•大连二模）已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=
an-1-4 (an-1＞4)
5-an-1 (an-1≤4)

（I）当a=200时，填写下列表格；
N 2 3 51 200
an
（II）当a=200时，求数列{an}的前200项的和S200；
（III）令b n=
an
(-2)n
，Tn=b1+b2…+bn求证：当1＜a＜
5
3
时，T n＜
5-3a
3
．

已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，数学公式，
（1）当a=100时，填写下列列表格：
n2335100
an
（2）当a=100时，求数列{an}的前100项的和S100；
（3）令数学公式，求证：当数学公式时，数学公式．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网