Question

已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n≥2时an=

an-1-3，(an-1＞3) 4-an-1，(an-1≤3)

，
（Ⅰ）当a=100时，求数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀；
（Ⅱ）证明：对于数列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=100代入，先利用数列的递推关系式求出数列的各项的特点，再分组求和即可；
（Ⅱ）先对a₁=a的取值分：①若0＜a₁≤3；②若a₁＞3两种情况分别求出数列各项的规律，即可证明结论．

解答：解：（1）当a=100时，由题意知数列a_n的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，
从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，
从而S₁₀₀=（100+97+94+…+1）+（3+1+3+1+…+3+1）=

(100+1)×34

2

+(3+1)×

66

2

=1717+132=1849．
（2）证明：①若0＜a₁≤3，则题意成立；
②若a₁＞3，此时数列a_n的前若干项满足a_n-a_n-1=3，即a_n=a₁-3（n-1）．
设a₁∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N^*），
则当n=k+1时，a_k+1=a₁-3k∈（0，3]．
从而，此时命题成立．
综上：对于数列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3．

点评：本题的第一问主要考查数列求和的分组求和法．关键点在于利用递推关系式求出数列的各项的特点，再分组求和即可．