题目内容

（2009•大连二模）已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=
an-1-4 (an-1＞4)
5-an-1 (an-1≤4)

（I）当a=200时，填写下列表格；
N 2 3 51 200
an
（II）当a=200时，求数列{an}的前200项的和S200；
（III）令b n=
an
(-2)n
，Tn=b1+b2…+bn求证：当1＜a＜
5
3
时，T n＜
5-3a
3
．
分析：（I）当a=200时，利用递推式，即可得到相应结论；
（II）当a=200时，由题意知{an}数列的前50项成首项为200，公差为-4的等差数列，从第51项开始，奇数项均为1，偶数项均为4，分组求和，即可求数列{an}的前200项的和S200；
（III）确定数列的通项，分类讨论，分组求和，即可证得结论．
解答：（I）解：由题意，
n 2 3 51 200
an 196 192 1 4
…（4分）
（II）解：当a=200时，由题意知{an}数列的前50项成首项为200，公差为-4的等差数列，从第51项开始，奇数项均为1，偶数项均为4．
从而S200=
200+196+…+4
共50项
+
1+4+…+1+4
共150项
=
(200+4)×50
2
+(4+1)×
150
2
=5475．…（6分）
（III）证明：当1＜a＜
5
3
时，因为an=
a，n为奇数
5-a，n为偶数
，
所以bn=
an
(-2)n
=
-
a
2n
，n为奇数
5-a
2n
，n为偶数
                 …（8分）
当n为偶数2k时，Tn=b1+b2+…+b2k=-
a
2
+
5-a
22
-
a
23
+…+
5-a
22k
=-（
a
2
+
a
23
+…+
a
22k-1
）+（
5-a
22
+…+
5-a
22k
）
=
a
2
[1-(
1
4
)k]
1-
1
4
+
5-a
4
[1-(
1
4
)k]
1-
1
4
=
5-3a
3
[1-(
1
4
)k]
因为1＜a＜
5
3
，所以
5-3a
3
[1-(
1
4
)k]＜
5-3a
3
，…（10分）
当n为奇数2k-1时，Tn=b1+b2+…+b2k-1=-
a
2
+
5-a
22
-
a
23
+…+
5-a
22k-2
-
a
22k-1
＜-（
a
2
+
a
23
+…+
a
22k-1
）+（
5-a
22
+…+
5-a
22k
）
＜
5-3a
3

综上：Tn＜
5-3a
3
．…（12分）
点评：本题考查数列递推式，考查不等式的证明，考查数列的求和，考查学生的计算能力，难度较大．
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