Question

已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n≥2时，an=

an-1-3，(an-1＞3) 4-an-1，(an-1≤3)

，
（Ⅰ）当a=100，时，求数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀；
（Ⅱ）证明：对于数列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3；
（Ⅲ）令bn=

an

2n-(-1)n

，当2＜a＜3时，求证：

n

i=1

bi＜

20+a

12

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=100时，由题意知数列{a_n}的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，由此能求出S₁₀₀．
（Ⅱ）当0＜a₁≤3时，题意成立．当a₁＞3时，a_n=a₁-3（n-1）．设a₁∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N^*），则当n=k+1时，a_k+1=a₁-3k∈（0，3]．命题成立．当a₁≤0时，a₂=4-a₁＞3，命题成立．由此能够证明原命题成立．
（Ⅲ）当2＜a＜3时，由an=

a 4-a

(n为奇数) (n为偶数)

，知bn=

an

2n-(-1)n

=

a 2n-(-1)n ，n为奇数 4-a 2n-(-1)n ，n为偶数

．因为b_n＞0，所以只要证明当n≥3时不等式成立即可．由此能够证明

2k-1

i=1

bi＜

2k

i=1

bi＜

20+a

12

．

解答：解：（Ⅰ）a=100时，
∵a₁=100，当n≥2时，an=

an-1-3，(an-1＞3) 4-an-1，(an-1≤3)

，
∵a₁=100，a₂=97，…，a₃₃=4，a₃₄=1，a₃₅=3，a₃₆=1，a₃₇=3，…，a₁₀₀=1，
∴a=100时，
数列{a_n}的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，
从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，
从而S₁₀₀=

(100+97+94+…+4+1)

共34项

+

(3+1+…+3+1)

共66项

…（3分）
=

(100+1)×34

2

+(3+1)×

66

2

=1717+132=1849．…（5分）
（Ⅱ）证明：①若0＜a₁≤3，则题意成立…（6分）
②若a₁＞3，此时数列{a_n}的前若干项满足a_n-a_n-1=3，
即a_n=a₁-3（n-1）．
设a₁∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N^*），
则当n=k+1时，a_k+1=a₁-3k∈（0，3]．
从而此时命题成立…（8分）
③若a₁≤0，由题意得a₂=4-a₁＞3，
则由②的结论知此时命题也成立．
综上所述，原命题成立…（10分）
（Ⅲ）当2＜a＜3时，
因为an=

a 4-a

(n为奇数) (n为偶数)

，
所以bn=

an

2n-(-1)n

=

a 2n-(-1)n ，n为奇数 4-a 2n-(-1)n ，n为偶数

．…（11分）
因为b_n＞0，
所以只要证明当n≥3时不等式成立即可．
而b2k-1+b2k=

a

22k-1+1

+

4-a

22k-1

=

a•22k-1+22k+1+(4-2a)

(22k-1+1)(22k-1)

＜

a•22k-1+22k+1

24k-1+22k-1-1

＜

a•22k-1+22k+1

24k-1

=

a+4

22k

…（13分）
①当n=2k（k∈N^*，且k≥2）时，

2k

i=1

bi=b1+b2+

2k

i=3

bi＜

a

3

+

4-a

3

+(

a+4

22×2

+

a+4

22×3

+…+

a+4

22×k

)
=

4

3

+(a+4)×

1 24 (1-( 1 4 )k-1)

1- 1 4

=

4

3

+

(a+4)×(1-( 1 4 )k-1)

12

＜

4

3

+

a+4

12

=

20+a

12

．…（15分）
②当n=2k-1（k∈N^*且k≥2）时，
由于b_n＞0，所以

2k-1

i=1

bi＜

2k

i=1

bi＜

20+a

12

．
综上所述，原不等式成立…（16分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．