Question

已知点（1，）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}前n项和为T_n，问满足T_n＞的最小正整数n是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据点（1，）在f（x）=a^x上求出a的值，从而确定函数f（x）的解析式，再由等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c求出数列{a_n}的公比和首项，得到数列{a_n}的通项公式；由数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n-S_n-1=可得到数列{}构成一个首项为1公差为1的等差数列，进而得到数列{}的通项公式，再由b_n=S_n-S_n-1可确定{b_n}的通项公式．
（2）先表示出T_n再利用裂项法求得的表达式T_n，根据T_n＞求得n．
解答：解：（Ⅰ）∵f（1）=a=
∴f（x）=（）^x，
∴a₁=f（1）-c=-c，
∴a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=
又数列{a_n}成等比数列，
=-，
∵a₁=-c
∴-=-c，∴c=1
又公比q==
所以a_n=（）^n-1=-（）ⁿ，n∈N；
∵S_n-S_n-1==（n≥2）
又b_n＞0，＞0，∴=1；
∴数列{}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
∴=1+（n-1）×1=n，S_n=n²
当n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
又b₁=c=1适合上式，∴b_n=2n-1（n∈N）；
（Ⅱ）T_n=++…+=
=（1-）+（-）+（）+…+=（1-）=
由＞，得n＞
满足的最小正整数为84．
点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式及数列的求和问题．考查学生综合分析问题的能力．