Question

已知点（1，）是函数f（x）=a^x（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=+（n≥2）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{}前n项和为T_n，问T_n＞的最小正整数n是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据点（1，）在f（x）=a^x上求出a的值，从而确定函数f（x）的解析式，再由等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c求出数列{a_n}的公比和首项，得到数列{a_n}的通项公式；由数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n-S_n-1=可得到数列{ }构成一个首项为1公差为1的等差数列，进而得到数列{ }的通项公式，再由b_n=S_n-S_n-1可确定{b_n}的通项公式．
（2）先表示出T_n再利用裂项法求得的表达式T_n，根据T_n＞求得n．
解答：解：（1）由已知f（1）=a=，∴f（x）=，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c=c，
∴a₁=f（1）=-c，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-
数列{a_n}是等比数列，应有=q，解得c=1，q=．
∴首项a₁=f（1）=-c=
∴等比数列{a_n}的通项公式为=．
（2）∵S_n-S_n-1==（n≥2）
又b_n＞0，＞0，∴=1；
∴数列{ }构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
∴=1+（n-1）×1=n                
∴S_n=n²
 当n=1时，b₁=S₁=1，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
又n=1时也适合上式，
∴{b_n}的通项公式b_n=2n-1．
（2）==
∴
==
由，得，，
故满足的最小正整数为112．
点评：本题考查了求数列通项中的两种题型：构造等差（等比）数列法，利用a_n，s_n的关系求解．以及裂项法数列求和．与函数、不等式相联系，增加了综合性．要求具有综合分析问题，解决问题的能力．