Question

8．如图，直线y=kx将抛物线y=x-x²与x轴所围图形分成面积相等的两部分，则k=1-$\frac{\root{3}{4}}{2}$．

Answer 1

分析 先由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=x-{x}^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1-k}\\{y=k-{k}^{2}}\end{array}\right.$，根据直线y=kx分抛物线y=x-x²与x轴所围成图形为面积相等的两个部分得${∫}_{0}^{1-k}$[（x-x²）-kx]dx=$\frac{1}{2}$∫₀¹（x-x²）dx，下面利用定积分的计算公式即可求得k值

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=x-{x}^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1-k}\\{y=k-{k}^{2}}\end{array}\right.$，由题意得${∫}_{0}^{1-k}$[（x-x²）-kx]dx=$\frac{1}{2}$∫₀¹（x-x²）dx，
解得$k=1-\root{3}{\frac{1}{2}}=1-\frac{\root{3}{4}}{2}$．
故答案为：1-$\frac{\root{3}{4}}{2}$．

点评 本题考查定积分的应用；研究平面图形的面积的一般步骤是：（1）画草图；（2）解方程组，求出交点坐标；（3）确定被积函数及上、下限；（4）进行计算