Question

【题目】已知抛物线，为其焦点，椭圆，，为其左右焦点，离心率，过作轴的平行线交椭圆于两点，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过抛物线上一点作切线交椭圆于两点，设与轴的交点为，的中点为，的中垂线交轴为，，的面积分别记为，，若，且点在第一象限．求点的坐标．

Answer 1

【答案】(1) . (2)

【解析】

（1）由题设可知，又，把均用表示，并把点代入标圆方程，求得；

（2）根据导数的几可意义求得直线的方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得点的坐标，求得中垂线方程，即可求得点坐标，根据三角形面积公式，即可求得点坐标.

（1）不妨设在第一象限，

由题可知，，

又，，

可得，椭圆的方程为.

（2）设则切线的方程为

代入椭圆方程得：，

设，

则，，

的方程为，

即，

令得，

在直线方程中令得，

，，

，，

，.

化简得，

（舍去）的坐标为.

，

，

因为，故此解符合题意．