Question

【题目】给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上一个端点到的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作椭圆的“伴随圆”的动弦，过点、分别作“伴随圆”的切线，设两切线交于点，证明：点的轨迹是直线，并写出该直线的方程；

（3）设点是椭圆的“伴随圆”上的一个动点，过点作椭圆的切线、，试判断直线、是否垂直？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）见解析；

（3）见解析.

【解析】

（1）由题意可得，，则，从而得到椭圆C的方程；

（2）根据题意，求得，分直线的斜率存在与不存在两种情况，将斜率存在时求得的直线，对斜率不存在时求得的点P的坐标进行检验，最后求得结果.

（3）讨论当P在直线上时，设出直线方程，联立椭圆方程，消去，得到关于的方程，运用判别式为0，化简整理，得到关于的方程，求出连根之积，判断是否为，即可判断垂直.

（1）依题意得：，所以，

所以椭圆方程为：；

（2）由题意可得伴随圆的方程为，

点为，所以，

当过点P的直线斜率不存在时，则，

可求得，此时，

当过点P的直线斜率存在时，设直线方程为：，

设，，

则经过各自的切线方程为：，

把代入，解得，

消，得到，

当不存在时，也满足方程，

所以点的轨迹是一条直线，且方程为；

（3）当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，

因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为：，此时经过点或，

则直线的方程为：，经检验，满足垂直关系；

当斜率都存在时，设点，

因为点P在伴随圆上，所以有，

设经过点，且与椭圆只有一个公共点的直线方程为：，

联立椭圆方程，

，消化简得，

因为相切，所以，即：，

又因为，

所以，所以，

所以直线，

从而得证.