Question

如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，且|

AP

|=2|

PB

|．
（Ⅰ）试用

OA

，

OB

表示

OP

；
（Ⅱ）若|

OA

|=3，

|OB|

=2，且∠AOB=60°，求

OP

•

AB

的值．

Answer 1

分析：（I）由题意，根据向量的三角形法则由

AP

=2

PB

，变形为关于

OA

，

OB

，

OP

的方程，从中解出

OP

的表达式即可；
（II）由（I）

OP

=

1

3

OA

+

2

3

OB

，可将

OP

•

AB

用

OB

，

OA

数量积表示出来，再由|

OA

|=3，

|OB|

=2，且∠AOB=60°，计算出

OP

•

AB

的值

解答：解：（I）∵P是线段AB上的一点，且|

AP

|=2|

PB

|．
∴

AP

=2

PB

．
即有

OP

-

OA

=2(

OB

-

OP

)
∴

OP

=

1

3

OA

+

2

3

OB

（II）由（I）知

OP

=

1

3

OA

+

2

3

OB

OP

•

AB

=（

1

3

OA

+

2

3

OB

）•（

OB

-

OA

）
=-

1

3

OA

2-

1

3

OB

•

OA

+

2

3

OB

2
=-

1

3

×9-

1

3

×3×2cos60°+

2

3

×4
=-

4

3

点评：本题考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量三角形法则，向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是解题的关键，本题是向量基本题，计算题