题目内容

如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使DB=
1
3
OB，DC与OA交于E，设
OA
=
a
，
OB
=
b
，用
a
，
b
表示向量
OC
，
DC
，
DE
．
分析：由
OA
=
1
2
（
OB
+
OC
）求出
OC
；根据
DC
=
OC
-
OD
求得结果；由于D、E、C三点共线，可得
DE
=λ•
DC
=2λ
a
+
5
3
λ
b
，再由
DE
=
DO
+
OE
=-
2
3
b
+μ
a
，故有2λ
a
+
5
3
λ
b
=-
2
3
b
+μ
a
，解出λ和μ的值，即可求得
DE
．
解答：解：因为A是BC的中点，所以
OA
=
1
2
（
OB
+
OC
），∴
OC
=2
OA
-
OB
=2
a
-
b
．
∴
DC
=
OC
-
OD
=2
a
-
b
-
2
3
b
=2
a
-
5
3
b
．
由于D、E、C三点共线，
∴
DE
=λ•
DC
=λ（2
a
-
5
3
b
）=2λ
a
+
5
3
λ
b
．
由于
DE
=
DO
+
OE
=-
2
3
OB
+μ
OA
=-
2
3
b
+μ
a
．
∴2λ
a
+
5
3
λ
b
=-
2
3
b
+μ
a
，故有 2λ=μ，
5
3
λ=-
2
3
．
解得 λ=
2
5
，μ=
4
5
．
∴
DE
=
4
5
a
-
2
3
b
．
点评：本题考查平面向量基本定理及向量的表示，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，在△OAB中，
OC
=
1
3
OA
，
OD
=
1
2
OB
，AD与BC交于点M，
设
OA
=
a
，
OB
=
b
，
（1）试用向量
a
和
b
表示
OM
；
（2）在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F，使EF过M点，
OE
=λ
OA
，
OF
=μ
OB
，求证：
1
λ
+
2
μ
=5．
（2013•杭州二模）如图，在△OAB中，C为OA上的一点，且
OC
=
2
3
OA
，D是BC的中点，过点A的直线l∥OD，P是直线l上的任意点，若
OP
=λ1
OB
+λ2
OC
，则λ1-λ2=
-
3
2
-
3
2
．
如图，在△OAB中，已知|O
A
| =2，|O
B
| =2
3
，∠AOB=90°，单位圆O与OA交于C，A
D
=λ
B
，λ∈(0，1)，P为单位圆O上的动点．
（1）若O
C
+O
P
=O
D
，求λ的值；
（2）记|P
D
|的最小值为f（λ），求f（λ）的表达式及f（λ）的最小值．
如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，且|
AP
|=2|
PB
|．
（Ⅰ）试用
OA
，
OB
表示
OP
；
（Ⅱ）若|
OA
|=3，
|OB|
=2，且∠AOB=60°，求
OP
•
AB
的值．

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