Question

17．关于下列命题：
①存在角α满足$sinα+cosα=\frac{3}{2}$
②函数$y=cos2（{\frac{π}{4}-x}）$是偶函数；
③函数$f（x）=4sin（{2x+\frac{π}{3}}）$关于直线$x=-\frac{5π}{12}$对称
④函数$f（x）=4sin（{2x+\frac{π}{3}}）$可改写为$f（x）=4cos（{2x-\frac{π}{6}}）$
写出所有正确的命题的题号：③④ （注：把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

分析 由条件利用三角函数的图象特征，得出结论．

解答 解：①若存在角α满足$sinα+cosα=\frac{3}{2}$，则1+sin2α=$\frac{9}{4}$，即sin2α=$\frac{5}{4}$ （矛盾），故①不正确．
②由于函数$y=cos2（{\frac{π}{4}-x}）$=sin2x是奇函数，故②不正确．
③对于函数$f（x）=4sin（{2x+\frac{π}{3}}）$，令x=-$\frac{5π}{12}$，求得f（x）=-1，为函数的最小值，故函数的图象关于直线$x=-\frac{5π}{12}$对称，故③正确．
④函数$f（x）=4sin（{2x+\frac{π}{3}}）$=4cos[$\frac{π}{2}$-（2x+$\frac{π}{3}$）]=4cos（2x-$\frac{π}{6}$），故④正确．
故答案为：③④．

点评 本题主要考查三角函数的图象特征，属于基础题．