题目内容
设0≤x≤a，求函数f（x）=3x4-8x3-6x2+24x的最大值和最小值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值
专题：计算题,导数的综合应用
分析：由题意求导f′（x）=12x3-24x2-12x+24=12（x+1）（x-1）（x-2），从而确定单调区间，从而分类讨论求最值．
解答：
解：∵f（x）=3x4-8x3-6x2+24x，
∴f′（x）=12x3-24x2-12x+24
=12（x+1）（x-1）（x-2）
∴f（x）在[0，1]，[2，+∞）上是增函数，在[1，2]上是减函数；
①当0＜a≤1时，
fmin（x）=f（0）=0；fmax（x）=f（a）=3a4-8a3-6a2+24a；
②当1＜a≤2时，
f（0）=0，f（2）=8，f（1）=13；
fmin（x）=0；fmax（x）=f（1）=13；
3x4-8x3-6x2+24x-13=3（x-1）2（x+
）（x-
）；
③当2＜a≤
时，
fmin（x）=0；fmax（x）=f（1）=13；
④当a＞
时，
fmin（x）=f（0）=0；fmax（x）=f（a）=3a4-8a3-6a2+24a．
∴f′（x）=12x3-24x2-12x+24
=12（x+1）（x-1）（x-2）
∴f（x）在[0，1]，[2，+∞）上是增函数，在[1，2]上是减函数；
①当0＜a≤1时，
fmin（x）=f（0）=0；fmax（x）=f（a）=3a4-8a3-6a2+24a；
②当1＜a≤2时，
f（0）=0，f（2）=8，f（1）=13；
fmin（x）=0；fmax（x）=f（1）=13；
3x4-8x3-6x2+24x-13=3（x-1）2（x+
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
③当2＜a≤
2
| ||
| 3 |
fmin（x）=0；fmax（x）=f（1）=13；
④当a＞
2
| ||
| 3 |
fmin（x）=f（0）=0；fmax（x）=f（a）=3a4-8a3-6a2+24a．
点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于难题．
练习册系列答案
世纪百通期末金卷系列答案
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| A、[1，+∞） |
| B、（-∞，1] |
| C、[-3，+∞） |
| D、（-∞，-3] |
下列说法正确的是（ ）
| A、曲线的切线和曲线的交点有且只有一个 |
| B、过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点 |
| C、若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处无切线 |
| D、若y=f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，则f′（x0）不一定存在 |
在△ABC中，a、b、c满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，则△ABC一定是（ ）
| A、等边三角形 |
| B、直角三角形 |
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| D、钝角三角形 |