Question

如图，已知椭圆过点．，离心率为，左、右焦点分别为F₁、F₂．点p为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜线分别为k₁、k₂．①证明：；②问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD满足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆过已知点和离心率，联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）①把直线PF₁、PF₂的方程联立求得交点的坐标的表达式，代入直线x+y=2上，整理求得，原式得证．
②设出A，B，C，D的坐标，联立直线PF₁和椭圆的方程根据韦达定理表示出x_A+x_B和x_Ax_B，进而可求得直线OA，OB斜率的和与CO，OD斜率的和，由k_OA+k_）B+k_OC+k_OD=0推断出k₁+k₂=0或k₁k₂=1，分别讨论求得p．
解答：解：（1）∵椭圆过点，，
∴，
故所求椭圆方程为；
（2）①由于F₁（-1，0）、F₂（1，0），PF₁，PF₂的斜率分别是k₁，k₂，且点P不在x轴上，
所以k₁≠k₂，k₁≠0，k₂≠0．
又直线PF₁、PF₂的方程分别为y=k₁（x+1），y=k₂（x-1），
联立方程解得，
所以，由于点P在直线x+y=2上，
所以，
故
②设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），联立直线PF₁和椭圆的方程得，
化简得（2k₁²+1）x²+4k₁²x+2k₁²-2=0，
因此，
所以，
同理可得：，
故由k_OA+k_）B+k_OC+k_OD=0得k₁+k₂=0或k₁k₂=1，
当k₁+k₂=0时，由（1）的结论可得k₂=-2，解得P点的坐标为（0，2）
当k₁k₂=1时，由（1）的结论可得k₂=3或k₂=-1（舍去），
此时直线CD的方程为y=3（x-1）与x+y=2联立得x=\frac{5}{4}，，
所以，
综上所述，满足条件的点P的坐标分别为，P（0，2）．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系的综合问题，椭圆的简单性质．考查了学生综合推理能力，基本计算能力．