Question

（本小题满分14分）

如图，已知椭圆过点（1，），离心率为 ，左右焦点分别为.点为直线：上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为和为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线、斜率分别为.

（ⅰ）证明：

（ⅱ )问直线上是否存在一点，使直线的斜率满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（ Ⅱ ）（ⅰ）证明见解析

（ⅱ ) 满足条件的点P的坐标分别为，（，）。

【解析】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，直线的斜率等知识，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力以及数形结合、分类讨论数学思想，。其中问题（Ⅱ）是一个开放性的探索问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力。

【答案】

（Ⅰ）解：因为椭圆过点（1，），e=，

         所以，.

又，

所以

故所求椭圆方程为 .

（II）(1)证明：

方法一：由（1,0），（1,0）,PF_1,PF₂的斜率分别为,，且点p不在 x轴上。

所以,

有直线,的方程分别为,

联立方程解得

所以

由于点P在直线上

所以

因此

即，结论成立

方法二:

因为点P不在x轴上，所以

又

所以

因此结论成立---------------------------------------------------

 

（ⅱ）解：设，，，.

      联立直线与椭圆的方程得

      化简得

      因此 

      由于  的斜率存在，

      所以  ，因此

       因此

                   

相似地可以得到

故

若，须有=0或=1.

① 当=0时，结合（ⅰ）的结论，可得=－2，所以解得点P的坐标为（0，2）；

② 当=1时，结合（ⅰ）的结论，可得=3或=－1（此时=－1，不满足≠，舍去 ），此时直线CD的方程为，联立方程得，

因此   .

综上所述，满足条件的点P的坐标分别为，（，）。