Question

6．已知$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，|$\overrightarrow{c}$|=4，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$之间的夹角$＜\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}＞$为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 根据题意，构造△ABC，使$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，根据△ABC三边之长，利用余弦定理求出向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$之间的夹角即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，|$\overrightarrow{c}$|=4，
∴以这三个向量首尾相连组成△ABC；
令$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，
则△ABC三边之长分别为BC=2，CA=3，AB=4；
由余弦定理，得：
cos∠BCA=$\frac{{BC}^{2}{+CA}^{2}{-AB}^{2}}{2BC•CA}$=$\frac{{2}^{2}{+3}^{2}{-4}^{2}}{2×2×3}$=-$\frac{1}{4}$，
又向量$\overrightarrow{BC}$和$\overrightarrow{CA}$是首尾相连，
∴这两个向量的夹角是180°-∠BCA，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{4}$，
即向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$之间的夹角$＜\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}＞$不是特殊角．
故答案为：D．

点评 本题考查了用数量积表示两个向量的夹角问题，关键是把问题转化为三角形的内角求解，是基础题目．