已知等差数列{an}的前n项和为Sn.a2+a6=14.S8=64.数列{bn}满足b1+2b2+3b3+-+nbn=(n-1)•2n+1.n∈N*．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式,(2)设cn=$\frac{{a} {n}}{{b} {n}}$．记数列{cn}的前n项和为Tn.若不等式Tn＜λ2-5λ对任意的n∈N*恒成立.求实数λ的取值范围� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂+a₆=14，S₈=64，数列{b_n}满足b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=（n-1）•2ⁿ+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$．记数列{c_n}的前n项和为T_n，若不等式T_n＜λ²-5λ对任意的n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

分析（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a_n，利用递推关系可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答解：（1）设等差数列{a_n}的公差为的，∵a₂+a₆=14，S₈=64，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+6d=14}\\{8{a}_{1}+\frac{8×7}{2}d=64}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵数列{b_n}满足b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=（n-1）•2ⁿ+1，n∈N^*．
∴当n≥2时，b₁+2b₂+3b₃+…+（n-1）b_n-1=（n-2）•2^n-1+1，
∴nb_n=（n-1）•2ⁿ+1-（n-2）•2^n-1-1，
解得b_n=2^n-1．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$．
数列{c_n}的前n项和T_n=$1+\frac{3}{2}+\frac{5}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$．
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$2（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$=$2×\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-1-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，
∴T_n=6-$\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$．
不等式T_n=6-$\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$＜λ²-5λ对任意的n∈N^*恒成立，
∴λ²-5λ≥6，
解得λ≥6，或λ≤-1．
∴实数λ的取值范围为λ≥6，或λ≤-1．