题目内容
已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1-an}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若数列{bn}的首项b1=1，且满足4nbn+1=(an+1)2bn(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和为Sn．
分析：（1）利用等比数列的定义，构造
=q≠0进行证明．
（2）利用（I）可先求an+1-an=2n，利用叠加法可得an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，从而可求an
（3）由已知可得bn+1=bn所以{bn}是首项为1的常数数列．
| an+2-an+1 |
| an+1-an |
（2）利用（I）可先求an+1-an=2n，利用叠加法可得an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，从而可求an
（3）由已知可得bn+1=bn所以{bn}是首项为1的常数数列．
解答：解：（1）证明：∵an+2=3an+1-2an∴an+2-an+1=2（an+1-an）…（2分）∵a1=1，a2=3∴a2-a1=2≠0
∴{an+1-an}是以2为首项，2为公比的等比数列． …（4分）
（2）解：由（I）得an+1-an=2n …（5分）∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，…（7分）
=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1…（9分）
（3）因为4bn+1=(an+1)2bn(n∈N*)，
且由（II）知，bn+1=bn…（10分）
所以{bn}是首项为1的常数数列 …（11分）
所以Sn=n（n∈N*）…（13分）
∴{an+1-an}是以2为首项，2为公比的等比数列． …（4分）
（2）解：由（I）得an+1-an=2n …（5分）∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，…（7分）
=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1…（9分）
（3）因为4bn+1=(an+1)2bn(n∈N*)，
且由（II）知，bn+1=bn…（10分）
所以{bn}是首项为1的常数数列 …（11分）
所以Sn=n（n∈N*）…（13分）
点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识的综合运用，考查化归的数学思想方法在解题中的运用，考查综合解题能力．
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