Question

5．已知函数$f（x）=\frac{1}{{9{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{9{{cos}^2}x}}，x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且f（x）≥t恒成立．
（1）求实数t的最大值；
（2）当t取最大值时，求不等式|x+t|+|x-2|≥5的解集．

Answer 1

分析 （1）根据1的替换，结合基本不等式的应用求出函数f（x）的最小值即可得到结论．
（2）根据绝对值的应用将不等式进行表示为分段函数形式，进行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{9si{n}^{2}x}$+$\frac{4}{9co{s}^{2}x}$=（$\frac{1}{9si{n}^{2}x}$+$\frac{4}{9co{s}^{2}x}$）（sin²x+cos²x）
=$\frac{1}{9}$（5+$\frac{4sin^2x}{cos^2x}$+$\frac{cos^2x}{sin^2x}$）≥$\frac{1}{9}$（5+2$\sqrt{\frac{4sin^2x}{cos^2x}•\frac{cos^2x}{sin^2x}}$）=$\frac{1}{9}$（5+2$\sqrt{4}$）=$\frac{1}{9}$（5+4）=1，
当且仅当$\frac{4sin^2x}{cos^2x}$=$\frac{cos^2x}{sin^2x}$，即$tanx=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时等号成立，
若f（x）≥t恒成立，
∴t≤1，即t的最大值为1．
（2）由题$\left|{x+1}\right|+\left|{x-2}\right|=\left\{\begin{array}{l}1-2x，x＜-1\\ 3，-1≤x≤2\\ 2x-1，x＞2\end{array}\right.$，--------（5分）
则由|x+1|+|x-2|≥5得，
当x＜-1，得1-2x≥5得2x≤-4，即x≤-2，此时x≤-2，
当-1≤x≤2得3≥5，此时不等式不成立，
当x＞2时，得2x-1≥5，即x≥3，
综上x≤-2或x≥3，
不等式的解集为（-∞，-2]∪[3，+∞）------（10分）

点评 本题主要考查不等式恒成立以及绝对值不等式的求解，根据基本不等式的解法利用1的代换进行求解是解决本题的关键．综合考查绝对值不等式的解法．