Question

【题目】已知，，是直线上的个不同的点（，、，均为非零常数），其中数列为等差数列.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若点是直线上一点，且，求证：；

（3）设，且当时，恒有（和都是不大于的正整数，且）试探索：若为直角坐标原点，在直线上是否存在这样的点，使得成立？请说明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在满足要求，理由见解析

【解析】

（1）运用等差数列的定义求证，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.（2）由三点共线，则有①，再将分解为，再代入①中可解.（3）先假设成立，在坐标系中运用向量的坐标运算可得①，再根据时，恒有，推出②，再联立①②可推出P点横坐标和纵坐标推出P点存在.

（1）证明：设等差数列的公差为，

因为，

所以为定值，

即数列也是等差数列

（2）证明：因为点、和都是直线上一点，

故有，，

于是，

即

所以，

令，，

则有；

（3）解：假设存在点满足要求，

则有，

又当时，恒有，

则又有，

所以，

又因为数列成等差数列，

于是，

所以，

故，

同理，

且点在直线上（是、的中点），

即存在满足要求．