Question

【题目】已知函数，其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数存在两个极值点，（其中），且的取值范围为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】

（1）对函数进行求导，将导数的正负转化成研究一元二次函数的根的分布问题；

（2）利用韦达定理得到，，将转化成关于的表达式，再利用换元法令，从而构造函数，根据函数的值域可得自变量的范围，进而得到的取值范围.

解：（1）.

令，则.

①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增.

②当，即时，

由，得或；

由，得，

∴在和上单调递增，

在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，

在上单调递减.

（2）由（1）得，当时，有两极值点，（其中）.

由（1）得，为的两根，所以，.

所以

.

令，则，

因为，

所以在上单调递减，而，，

所以，

又，易知在上单调递增，

所以，

所以实数的取值范围为.