Question

【题目】已知，是椭圆T.上的两点，且A点位于第一象限.过A做x轴的垂线，垂足为点C，点D满足，延长交T于点.

（1）设直线，的斜率分别为，.

（i）求证：；

（ii）证明：是直角三角形；

（2）求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（i）见解析（ii）见解析（2）

【解析】

（1）（i）求出点D的坐标，用、表示出、即可得证；（ii）利用，都在T上可将两点坐标代入椭圆方程，两式相减并通过变形证明，由（i）可推出，则，得证；（2）直线AE的方程代入椭圆方程整理得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出，由求出面积的表达式，利用换元法及对勾函数的单调性即可求得面积的最大值.

（1）（i）由题意可得，所以，

又，因此.

（ii）因为，都在T上，

所以，，从而，

即.

又，，所以，

由（i），则，即.

故是直角三角形.

（2）由（1）得，：，

将直线代入椭圆T，并整理可得，

所以.

，

因为，所以.

令，则，等号当且仅当时成立.

从而，

因为在上单调递增，所以时，取得最小值，

故时，取得最大值.