Question

【题目】已知椭圆，四点，，，中恰有三个点在椭圆上，左、右焦点分别为、．

（1）求椭圆的方程；

（2）过左焦点且不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）利用椭圆的对称性确定在椭圆上的三点，由椭圆的上顶点可求出a，点或的坐标代入椭圆求出b，即可写出椭圆的方程；（2）联立直线的方程与椭圆方程得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，即可利用弦长公式求出，求出点N的坐标即可写出直线的垂直平分线的方程，令求出，代入得到关于k的分式，利用基本不等式可求得最小值.

（1）易知，关于轴对称，一定都在椭圆上，所以一定不在椭圆上，根据题意也在椭圆上，则，

将代入椭圆方程得，

所以椭圆方程为.

（2）由知椭圆的左焦点,

设直线的方程为（），，，的中点为.

联立，可得，

则，，

所以，，

点，

，

垂直平分线方程为：，

令，求得，则，

所以，当且仅当即时取等号，

因此，当，取最小值.