Question

【题目】已知离心率为的椭圆的短轴的两个端点分别为、，为椭圆上异于、的动点，且的面积最大值为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）射线与椭圆交于点，过点作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点和点，求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由椭圆的离心率为可得出，再由的面积最大值为可求得的值，进而可得出的值，由此可求得椭圆的方程；

（Ⅱ）求出点的坐标，设直线的方程为，与椭圆方程联立，求得点的坐标，同理可求得点的坐标，可求得直线的斜率为，然后将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理、三角形的面积公式以及基本不等式可求得的面积的最大值.

（Ⅰ）椭圆的离心率为，可得，

由题意可得的面积的最大值为，可得，，

因此，椭圆的方程为；

（Ⅱ）联立，解得，所以，点的坐标为.

设点、，设直线的方程为，即，

联立，消去并整理得，

由韦达定理得，即，，

所以，点的坐标为，

同理可得点的坐标为，

直线的斜率为，

设直线的方程为，

联立，消去得，

，可得，

由韦达定理得，，

由弦长公式可得，

点到直线的距离，

所以，，

当且仅当时，等号成立，

因此，面积的最大值为.