Question

【题目】已知抛物线：的焦点是椭圆的一个焦点.

（1）求抛物线的方程；

（2）设，，为抛物线上的不同三点，点，且.求证：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）椭圆的焦点为，由题意可知，由此即可求出抛物线的方程；

（2）设直线的方程为，与抛物线联立得，可得，再根据，可得，列出方程代入，化简可得，再因式分解可得或，再代入方程进行检验，即可求出结果.

（1）因为椭圆的焦点为，

依题意，，，所以：

（2）设直线的方程为，与抛物线联立得，

设，，

则，

由，则，即，

所以

即，

整理得到，

所以，

化简得即，

解得或.

当时，直线的方程为，即为，即直线过定点；

当时，直线的方程为，即为，即直线过定点，此时与点重合，故应舍去，

所以直线过定点.