Question

【题目】（1）试比较与的大小.

（2）若函数的两个零点分别为，，

①求的取值范围；

②证明：.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析.（2）①.②证明见解析

【解析】

（1）设，然后利用导数求出的单调性，然后结合函数值即可比较出大小；

（2）①利用导数求出的最小值即可；

②不妨设，则，结合（1）中结论可推出，，然后可得，将其分解因式可证明.

（1）设，

则，

故在上单调递减.

因为，

所以当时，；当时，；当时，.

即当时，；

当时，；

当时，.

（2）①因为，所以，

令，得；令，得，

则在上单调递减，在上单调递增，

故.

因为有两个零点，所以，即.

因为，，

所以当有两个零点时，的取值范围为.

②证明：因为，是的两个零点，

不妨设，则.

因为，，

所以，，

即，，

则，即，

即.

因为，所以，则，即.