Question

曲线f(x)=cosx+cos(x-

π

2

)(x∈(-

π

4

，

7π

4

))在（x₀，f（x₀））处的切线的倾斜角为

π

4

，则x₀的值为（　　）

• A．

  5π

  4

  或

  7π

  4

• B．0
• C．

  3π

  4

  或π
• D．0或

  3π

  2

Answer 1

分析：先求出导数f^′（x），根据导数的几何意义即可得到sin（x₀-

π

4

）=-

2

2

，再利用正弦函数的单调性及角x₀的取值范围，即可解出x₀的取值．

解答：解：∵f（x）=cosx+sinx，
∴f′（x）=-sinx+cosx，
∵曲线f(x)=cosx+cos(x-

π

2

)(x∈(-

π

4

，

7π

4

))在（x₀，f（x₀））处的切线的倾斜角为

π

4

，
∴k=tan

π

4

=1，
∴f′（x₀）=1，得-sinx₀+cosx₀=1，
即sin（x₀-

π

4

）=-

2

2

，由于x0∈(-

π

4

，

7π

4

)，
解得x₀=0或

3π

2

．
故选D．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，理解导数的几何意义和正确计算是解题的关键．