题目内容

已知曲线f(x)=x2+1和g(x)=x3+x在其交点处两切线的夹角为θ,求cosθ.

思路分析:要求cosθ的值,需求两切点及两曲线的交点,利用向量的数量积求解.

解:由得x3-x2+x-1=0,即(x-1)(x2+1)=0,得x=1.

所以交点为P(1,2).

因为f′(1)==2,

所以其切线方程为l1:y-2=2(x-1),即y=2x.

因为g′(1)==4,

所以其切线方程为l2:

y-2=4(x-1),即y=4x-2.

取切线l1的方向向量为a=(1,2),切线l2的方向向量为b=(1,4),

则cosθ=.

练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
ax
+lnx-1，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线平行于直线y=-x+1，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
已知曲线f（x）=xn+1（n∈N*）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则lgx1+lgx2+…+lgx9的值为（　　）
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
已知曲线f（x）=xn+1（n∈N*）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2012x1+log2012x2+…+log2012x2011的值为
-1
-1
．
已知函数f(x)=
x
，g(x)=alnx，a∈R
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的φ（a）和任意的a＞0，b＞0，证明：φ′(
a+b
2
)≤
φ′(a)+φ′(b)
2
≤φ′(
2ab
a+b
)．

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