Question

7．已知函数f（x）=|4x-a|+|4x+3|，g（x）=|x-1|-|2x|．
（1）解不等式g（x）＞-3；
（2）若存在x₁∈R，也存在x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；
（2）因为存在x₁∈R，存在x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，所以{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=g（x），x∈R}≠∅，分别求出f（x），g（x）的范围，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意可得$g（x）=\left\{\begin{array}{l}1+x，x≤0\\ 1-3x，0＜x＜1\\-1-x，x≥1\end{array}\right.$
因为g（x）＞-3，
由函数图象可得不等式的解为-4＜x＜2，
所以不等式的解集为{x|-4＜x＜2}．
（2）因为存在x₁∈R，存在x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
所以{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=g（x），x∈R}≠∅，
又f（x）=|4x-a|+|4x+3|≥|（4x-a）+（4x+3）|=|a+3|，
由（1）可知g（x）_max=1，所以|a+3|≤1，解得-4≤a≤-2，
所以实数a的取值范围为[-4，-2]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查集合的包含关系，是一道中档题．