Question

如图，G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．
（1）设，将用λ、、表示；
（2）设，，证明：是定值；
（3）记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T．求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）寻找包含的图形△OPG，利用向量的加法法则知，在根据和即可
（2）根据（1）结合，知：在根据G是△OAB的重心知：，最后根据、不共线得到关于x，y，λ的方程组即可求解
（3）根据三角形面积计算公式，知=xy，由点P、Q的定义知，，
且时，y=1；x=1时，．此时，均有．时，．此时，均有．得到的范围为在根据（2）知进行作差证明即可
解答：解：（1）=
（2）一方面，由（1），得；①
另一方面，∵G是△OAB的重心，
∴．②
而、不共线，∴由①、②，
得
解之，得，
∴（定值）．
（3）．
由点P、Q的定义知，，
且时，y=1；x=1时，．
此时，均有．时，．
此时，均有．
以下证明：．
由（2）知，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴的取值范围．
点评：本题考查了向量的加减法，三角形的面积公式，作差法证明不等式，属于基础题．