Question

如图，G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．
（1）设

PG

=λ

PQ

，将

OG

用λ、

OP

、

OQ

表示；
（2）设

OP

=x

OA

，

OQ

=y

OB

，证明：

1

x

+

1

y

是定值．

Answer 1

分析：（1）根据向量的减法法则，将

PG

=

OG

-

OP

和

PQ

=

OQ

-

OP

代入已知等式，化简整理即可得到用λ、

OP

、

OQ

表示

OG

的式子；
（2）根据G是△OAB的重心，算出

OG

=

1

3

（

OA

+

OB

），结合（1）中得出的式子和平面向量基本定理，得到

1

x

、

1

y

关于λ的表达式，从而得到

1

x

+

1

y

=3是定值．

解答：解：（1）∵

PG

=

OG

-

OP

，

PQ

=

OQ

-

OP

∴

PG

=λ

PQ

，即

OG

-

OP

=λ（

OQ

-

OP

）
整理，得

OG

=（1-λ）

OP

+λ

OQ

（2）∵G是△OAB的重心，
∴

OG

=

2

3

OM

=

2

3

×

1

2

（

OA

+

OB

）=

1

3

（

OA

+

OB

）
∵

OP

=x

OA

，

OQ

=y

OB

，

OG

=（1-λ）

OP

+λ

OQ

∴

OG

=（1-λ）x

OA

+λy

OB

因此，得到

(1-λ)x= 1 3 λy= 1 3

，可得

3(1-λ)= 1 x 3λ= 1 y

，
∴

1

x

+

1

y

=3（1-λ）+3λ=3，即

1

x

+

1

y

=3（定值）．

点评：本题给出三角形OAB的重心G，求用λ、

OP

、

OQ

表示

OG

的式子并证明一个式子等于常数．着重考查了向量的减法法则、平面向量基本定理和向量在几何中的应用等知识，属于中档题．