Question

如图，G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．
（1）设

PG

=λ

PQ

，将

OG

用λ、

OP

、

OQ

表示；
（2）设

OP

=x

OA

，

OQ

=y

OB

，证明：

1

x

+

1

y

是定值；
（3）记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T．求

T

S

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）寻找包含

OG

的图形△OPG，利用向量的加法法则知

OG

=

OP

+

PG

，在根据

PG

=λ

PQ

和

PQ

=

OQ

-

OP

即可
（2）根据（1）结合

OP

=x

OA

，

OQ

=y

OB

知：

OG

=(1-λ)

OP

+λ

OQ

=(1-λ)x

OA

+λ y

OB

在根据G是△OAB的重心知：

OG

=

2

3

OM

=

2

3

×

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

3

OA

+

1

3

OB

，最后根据

OA

、

OB

不共线得到关于x，y，λ的方程组即可求解
（3）根据三角形面积计算公式S△ABC =

1

2

absinc，知

T

S

=xy，由点P、Q的定义知

1

2

≤x≤1，

1

2

≤y≤1，
且x=

1

2

时，y=1；x=1时，y=

1

2

．此时，均有

T

S

=

1

2

．x=

2

3

时，y=

2

3

．此时，均有

T

S

=

4

9

．得到

T

S

的范围为[

4

9

，

1

2

]在根据（2）知y=

x

3x-1

进行作差证明即可

解答：解：（1）

OG

=

OP

+

PG

=

OP

+λ

PQ

=

OP

+λ(

OQ

-

OP

)=(1-λ)

OP

+λ

OQ

（2）一方面，由（1），得

OG

=(1-λ)

OP

+λ

OQ

=(1-λ)x

OA

+λ y

OB

；①
另一方面，∵G是△OAB的重心，
∴

OG

=

2

3

OM

=

2

3

×

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

3

OA

+

1

3

OB

．②
而

OA

、

OB

不共线，∴由①、②，
得

(1-λ)x= 1 3 λ y= 1 3 .

解之，得

1 x =3-3λ 1 y =3λ.

，
∴

1

x

+

1

y

=3（定值）．
（3）

T

S

=

1 2 | OP |•| OQ |sin∠POQ

1 2 | OA |•| OB |sin∠AOB

=

| OP |

| OA |

•

| OQ |

| OB |

=xy．
由点P、Q的定义知

1

2

≤x≤1，

1

2

≤y≤1，
且x=

1

2

时，y=1；x=1时，y=

1

2

．
此时，均有

T

S

=

1

2

．x=

2

3

时，y=

2

3

．
此时，均有

T

S

=

4

9

．
以下证明：

4

9

≤

T

S

≤

1

2

．
由（2）知y=

x

3x-1

，
∵

T

S

-

4

9

=

x2

3x-1

-

4

9

=

(3x-2)2

9(3x-1)

≥0，
∴

T

S

≥

4

9

．
∵

T

S

-

1

2

=

x2

3x-1

-

1

2

=

(x-1)(2x-1)

2(3x-1)

≤0，
∴

T

S

≤

1

2

．
∴

T

S

的取值范围[

4

9

 ， 

1

2

]．

点评：本题考查了向量的加减法，三角形的面积公式，作差法证明不等式，属于基础题．